第89章 白发魔的特权(第2/2 页)

对于任意的实数 \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) 和 \( y_1, y_2, \ldots, y_n \)，我们有

\[ (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n)^2 \]

2. 选择合适的 \( x_i \) 和 \( y_i \)：

用\( x_i \) 和 \( y_i \) 来表示 \( a, b, c \) 和 \( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \)。我们可以令

\[x_1 = \sqrt{a}, \quad x_2 = \sqrt{b}, \quad x_3 = \sqrt{c}, \quad y_1 = \sqrt{a}, \quad y_2 = \sqrt{b}, \quad y_3 = \sqrt{c} \]

3. 应用柯西不等式：

根据柯西不等式，我们有

\[ (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \]

4. 简化右边的表达式：

将 \( x_i \) 和 \( y_i \) 的值代入，我们得到

\[ (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 = (\sqrt{a}\sqrt{a} + \sqrt{b}\sqrt{b} + \sqrt{c}\sqrt{c})^2 = (a + b + c)^2 \]

5. 得出结论：

因此，我们有

\[ (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq (a + b + c)^2 \]

6. 使用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM 不

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